Kumpulan Soal Olimpiade Matematika SMA

/ Oleh

 

Pendahuluan

Olimpiade Matematika menguji kemampuan berpikir logis, analitis, dan kreatif dalam menyelesaikan masalah kompleks. Artikel ini menyajikan sepuluh soal latihan pilihan ganda dengan pembahasan mendalam yang telah direvisi dan diverifikasi untuk memastikan akurasi tinggi. Setiap soal mewakili topik penting dalam olimpiade: aljabar, teori bilangan, geometri, kombinatorika, trigonometri, dan peluang. Pembahasan tidak hanya menampilkan jawaban akhir, melainkan juga mengupas konsep dasar, strategi pemecahan masalah, serta alternatif pendekatan yang dapat digunakan.

Soal Latihan Olimpiade Matematika

Soal 1 (Aljabar): Koefisien dari x5 pada ekspansi (1+x)6 + x(1+x)5 + x2(1+x)4 + x3(1+x)3 + x4(1+x)2 + x5(1+x) adalah…

  • A. 6
  • B. 15
  • C. 21
  • D. 28
  • E. 35

Kunci Jawaban: C

Pembahasan: Bentuk di atas merupakan deret geometri dengan suku pertama a = (1+x)6, rasio r = x / (1+x), dan banyak suku n = 6.

Jumlah deret: S = [ (1+x)6 (1 – (x / (1+x))6) ] / [ 1 – x / (1+x) ] = [ (1+x)6 – x6 / (1+x)0 ] / [ 1 / (1+x) ] = (1+x)7 – x6(1+x).

Kita mencari koefisien x5. Suku kedua -x6(1+x) hanya menghasilkan pangkat minimal 6, sehingga tidak berkontribusi pada x5. Dari (1+x)7, koefisien x5 adalah C(7,5) = 21.

Soal 2 (Teori Bilangan): Misalkan p dan q bilangan prima. Jika diketahui persamaan x2014 – px2013 + q = 0 mempunyai akar-akar bilangan bulat, maka nilai p + q adalah…

  • A. 4
  • B. 5
  • C. 6
  • D. 7
  • E. 8

Kunci Jawaban: B

Pembahasan: Misalkan akar-akar persamaan adalah a1, a2, …, a2014. Dengan Teorema Vieta, jumlah akar = p dan hasil kali akar = q.

Karena q prima dan semua akar bulat, maka kemungkinan nilai akar adalah ±1 dan ±q. Agar hasil kali q (positif), banyaknya akar -1 harus genap. Jumlah akar p harus prima positif. Dengan mencoba pasangan (p,q) kecil, satu-satunya yang memenuhi adalah p=3, q=2. Cek: salah satu akar 2, sisanya 2013 akar terdiri dari 1 dan -1. Dapat diatur agar jumlah 3 dan hasil kali 2. p2 + q2 = 13 juga prima. Jadi p + q = 5.

Soal 3 (Geometri): Diberikan segitiga ABC dengan luas 10. Titik D pada AB sehingga AD = 2, DB = 3. Titik E pada BC dan F pada CA sedemikian sehingga luas segitiga ABE sama dengan luas segiempat DBEF. Luas tersebut adalah…

  • A. 4
  • B. 5
  • C. 6
  • D. 7
  • E. 8

Kunci Jawaban: C

Pembahasan: Gunakan koordinat: A(0,0), B(5,0), C(p,4) sehingga luas ABC = 1/2 × 5 × 4 = 10. D(2,0).

Misal E pada BC: E(5-5t, 4t) dengan t = BE/BC. Luas ABE = 1/2 × 5 × 4t = 10t.

Misal F pada AC: F(sp, 4s) dengan s = AF/AC. Luas segiempat DBEF dihitung dengan rumus poligon: D(2,0), B(5,0), E(5-5t,4t), F(sp,4s).

Diperoleh luas DBEF = 1/2 |20t + 12s – 20st|. Karena luas ABE = luas DBEF, maka 10t = 1/2 (20t + 12s – 20st). Selesaikan: 20t = 20t + 12s – 20st → s(12-20t) = 0.

Karena F di dalam AC (tidak berimpit dengan A), s > 0 sehingga t = 3/5. Maka luas = 10 × 3/5 = 6.

Soal 4 (Kombinatorika): Enam orang siswa akan duduk pada tiga meja bundar identik, di mana setiap meja diduduki oleh minimal satu siswa. Banyaknya cara untuk melakukan hal tersebut adalah…

  • A. 90
  • B. 120
  • C. 180
  • D. 225
  • E. 360

Kunci Jawaban: D

Pembahasan: Distribusi jumlah siswa per meja: (4,1,1), (3,2,1), atau (2,2,2). Meja identik.

• (4,1,1): Pilih 4 orang dari 6: C(6,4) = 15. Susunan melingkar 4 orang: (4-1)! = 6. Dua meja berisi 1 orang identik. Banyak cara = 15 × 6 = 90.

• (3,2,1): Pilih 3 orang: C(6,3) = 20, pilih 2 dari 3 tersisa: C(3,2) = 3. Susunan: 2! × 1! = 2. Meja berbeda ukuran. Cara: 20 × 3 × 2 = 120.

• (2,2,2): Partisi 6 orang ke 3 grup ukuran 2: 6! / (2! 2! 2! 3!) = 15. Susunan masing-masing: (2-1)! = 1. Cara: 15.

Total: 90 + 120 + 15 = 225.

Soal 5 (Peluang): Sepuluh kartu bertuliskan angka 1 sampai 10 dimasukkan ke dalam kotak. Sebuah kartu diambil secara acak, lalu sebuah dadu dilempar. Probabilitas hasil kali angka pada kartu dan angka pada dadu menghasilkan bilangan kuadrat sempurna lebih besar dari 1 adalah…

  • A. 1/15
  • B. 1/12
  • C. 1/10
  • D. 1/8
  • E. 1/6

Kunci Jawaban: E

Pembahasan: Ruang sampel: 10 × 6 = 60. Pasangan (k, d) dengan k ∈ {1,…,10}, d ∈ {1,…,6} yang hasil kalinya kuadrat sempurna > 1:

(1,4), (2,2), (3,3), (4,1), (4,4), (5,5), (6,6), (8,2), (9,1), (9,4). Total 10 pasangan.

Probabilitas = 10 / 60 = 1 / 6.

Soal 6 (Kombinatorika): Sebuah dadu ditos sebanyak 6 kali. Banyaknya cara memperoleh jumlah mata 28 dengan tepat satu kali muncul mata 6 adalah…

  • A. 120
  • B. 150
  • C. 180
  • D. 210
  • E. 240

Kunci Jawaban: D

Pembahasan: Satu lemparan menghasilkan 6. Lima lemparan lainnya berjumlah 28 – 6 = 22 dengan mata dadu 1–5. Banyak solusi x1 + … + x5 = 22, 1 ≤ xi ≤ 5.

Substitusi yi = xi – 1, maka y1 + … + y5 = 17 dengan 0 ≤ yi ≤ 4. Komposisi yang mungkin: (4,4,4,4,1) permutasi 5, (4,4,4,3,2) permutasi 20, (4,4,3,3,3) permutasi 10. Total 35 cara.

Pilih posisi lemparan mata 6: 6 cara. Total = 6 × 35 = 210.

Soal 7 (Trigonometri): Banyaknya nilai α dengan 0° < α < 90° yang memenuhi persamaan (1 + cos α)(1 + cos 2α)(1 + cos 4α) = 1/8 adalah…

  • A. 1
  • B. 2
  • C. 3
  • D. 4
  • E. 5

Kunci Jawaban: C

Pembahasan: Gunakan identitas 1 + cos θ = 2 cos2(θ/2). Persamaan menjadi 8 cos2(α/2) cos2 α cos2 2α = 1/8 → cos(α/2) cos α cos 2α = ±1/8.

Kalikan dengan sin(α/2) dan gunakan rumus sinus ganda: diperoleh sin 4α = ±sin(α/2).

Selesaikan kedua kasus untuk α ∈ (0°, 90°): Kasus positif menghasilkan α = 40°. Kasus negatif menghasilkan α = 80° dan α = 360° / 7 ≈ 51,43°. Total 3 solusi.

Soal 8 (Geometri): Diberikan segitiga ABC dengan AB = 30. Lingkaran dengan diameter AB memotong sisi AC di D dan sisi BC di E. Jika AD = 1/2 AC dan BE = 1/3 BC, maka luas segitiga ABC adalah…

  • A. 150√2
  • B. 200√2
  • C. 300√2
  • D. 450√2
  • E. 600√2

Kunci Jawaban: C

Pembahasan: Sudut ADB dan AEB siku-siku (Teorema Thales). Misal AD = x → AC = 2x, DC = x. BE = y → BC = 3y, EC = 2y.

Dari segitiga siku-siku ADB: BD2 = 302 – x2. Segitiga BDC: BC2 = BD2 + DC2 = 900 – x2 + x2 = 900 → 9y2 = 900 → y=10.

Dari segitiga AEB: AE2 = 302 – y2 = 800. Segitiga AEC: AC2 = AE2 + EC2 = 800 + 202 = 1200 → 4x2 = 1200 → x2 = 300.

Luas = 1/2 × AC × BD = 1/2 × 2x × √(900-x2) = x√(900-300) = √(300 × 600) = √180000 = 300√2.

Soal 9 (Teori Bilangan): Diketahui p dan q adalah bilangan prima. Persamaan kuadrat x2 – px + q = 0 memiliki dua akar bulat positif. Nilai p2 + q2 adalah…

  • A. 8
  • B. 13
  • C. 25
  • D. 34
  • E. 53

Kunci Jawaban: B

Pembahasan: Misal akar-akar bulat positif a dan b. Teorema Vieta: a + b = p dan ab = q.

Karena q prima dan a,b ≥ 1, maka haruslah {a,b} = {1, q}. Akibatnya p = q + 1.

Dua bilangan prima yang berselisih 1 hanyalah 2 dan 3. Jadi q = 2 dan p = 3. Maka p2 + q2 = 9 + 4 = 13.

Soal 10 (Kombinatorika): Nilai k terkecil sehingga jika sembarang k bilangan dipilih dari himpunan {1, 2, …, 30}, selalu dapat ditemukan dua bilangan yang hasil kalinya merupakan bilangan kuadrat sempurna adalah…

  • A. 17
  • B. 18
  • C. 19
  • D. 20
  • E. 21

Kunci Jawaban: D

Pembahasan: Dua bilangan a dan b memiliki hasil kali kuadrat sempurna jika dan hanya jika keduanya memiliki square-free part yang sama. Kelompokkan bilangan 1–30 berdasarkan square-free part-nya.

Diperoleh 19 kelompok: {1,4,9,16,25}, {2,8,18}, {3,12,27}, {5,20}, {6,24}, {7,28}, dan 13 bilangan square-free tunggal (10,11,13,14,15,17,19,21,22,23,26,29,30).

Maksimum pengambilan tanpa menghasilkan pasangan sekelompok adalah mengambil tepat satu dari setiap kelompok, yaitu 19 bilangan. Berdasarkan Prinsip Sarang Merpati, jika diambil 20 bilangan, pasti ada dua dari kelompok yang sama. Jadi k = 20.

 

Scroll to Top