Letakkan kubus pada koordinat: A(0,0,0), B(10,0,0), C(10,10,0), D(0,10,0), E(0,0,10), F(10,0,10), G(10,10,10), H(0,10,10). Titik E(0,0,10). Garis BG melalui B(10,0,0) dan G(10,10,10). Vektor BG = (0,10,10). Vektor EB = B - E = (10,0,-10). Jarak = |EB × BG| / |BG|. EB × BG = (10,0,-10) × (0,10,10) = ( (0×10 - (-10)×10), - (10×10 - (-10)×0), (10×10 - 0×0) ) = (100, -100, 100). Magnitudo = √(100²+(-100)²+100²) = 100√3. |BG| = √(0²+10²+10²) = 10√2. Jarak = 100√3 / 10√2 = 10√3/√2 = 5√6 cm.

Pembahasan:

1. Invers $g(x)$: misal $y=\frac{2x-1}{x+3}$, maka $y(x+3)=2x-1 \Rightarrow yx+3y=2x-1 \Rightarrow yx-2x=-1-3y \Rightarrow x(y-2)=-1-3y \Rightarrow x=\frac{-1-3y}{y-2}=\frac{3y+1}{2-y}$. Jadi $g^{-1}(x)=\frac{3x+1}{2-x}$, bukan $\frac{2x+1}{x-3}$. Opsi ini salah.

2. $(f \circ g)(x)=f(g(x))=3\left(\frac{2x-1}{x+3}\right)+2=\frac{6x-3}{x+3}+\frac{2(x+3)}{x+3}=\frac{6x-3+2x+6}{x+3}=\frac{8x+3}{x+3}$. Opsi ini benar.

3. $(g \circ f)(x)=g(3x+2)=\frac{2(3x+2)-1}{(3x+2)+3}=\frac{6x+4-1}{3x+5}=\frac{6x+3}{3x+5}$, bukan $\frac{6x+1}{3x+5}$. Opsi ini salah.

4. Invers $f(x)$: $y=3x+2 \Rightarrow x=\frac{y-2}{3}$, jadi $f^{-1}(x)=\frac{x-2}{3}$, bukan $\frac{x+2}{3}$. Opsi ini salah.

5. $(f \circ g)(1)=\frac{8(1)+3}{1+3}=\frac{11}{4}=2,75$, bukan 2. Opsi ini salah.

Jadi pernyataan yang benar pernyataan 2 .

Pembahasan:
1. $\left(\frac{1}{125}\right)^{-\frac{2}{3}} = 125^{\frac{2}{3}} = (5^3)^{\frac{2}{3}} = 5^2 = 25$
2. $27^{\frac{4}{3}} = (3^3)^{\frac{4}{3}} = 3^4 = 81$
3. $64^{\frac{1}{3}} = (4^3)^{\frac{1}{3}} = 4$
Maka $25 + 81 - 4 = 102$.
Kesalahan umum: lupa mengurangkan (106), menjumlahkan semua (110), salah akar pangkat tiga dari 64 (2 menghasilkan 104, 8 menghasilkan 98).

Model matematika: Misal x = banyak botol A, y = banyak botol B. Kendala: 200x + 400y ≤ 20.000 (sari buah) → x + 2y ≤ 100; 300x + 100y ≤ 15.000 (air) → 3x + y ≤ 150; x ≥ 0, y ≥ 0. Fungsi objektif: Z = 5.000x + 4.000y. Titik potong: x+2y=100 dan 3x+y=150. Dari x=100-2y substitusi: 3(100-2y)+y=150 → 300-6y+y=150 → -5y=-150 → y=30, x=40. Titik pojok: (0,0) → Z=0; (0,50) → Z=200.000; (50,0) → Z=250.000; (40,30) → Z=5.000(40)+4.000(30)=200.000+120.000=320.000. Jadi keuntungan maksimum Rp320.000,00.

Tinggi gedung = 80 m. Sudut depresi ke mobil A = $30^{\circ}$, maka jarak mendatar A dari kaki gedung: $x_A = \frac{80}{\tan 30^{\circ}} = \frac{80}{1/\sqrt{3}} = 80\sqrt{3}$ m. Sudut depresi ke mobil B = $60^{\circ}$, maka $x_B = \frac{80}{\tan 60^{\circ}} = \frac{80}{\sqrt{3}} = \frac{80\sqrt{3}}{3}$ m. Karena B di antara gedung dan A, jarak A ke B = $x_A - x_B = 80\sqrt{3} - \frac{80\sqrt{3}}{3} = \frac{240\sqrt{3} - 80\sqrt{3}}{3} = \frac{160\sqrt{3}}{3}$ meter.

Lintasan turun pertama: 20 m. Lintasan naik pertama: $20 \times \frac{3}{4} = 15$ m. Lintasan turun kedua: 15 m, dan seterusnya. Panjang lintasan naik seluruhnya membentuk deret geometri tak hingga dengan $a = 15$ dan $r = \frac{3}{4}$. Jumlahnya: $S_{\text{naik}} = \frac{15}{1 - 3/4} = \frac{15}{1/4} = 60$ m. Lintasan turun seluruhnya: 20 + 15 + ... = $20 + S_{\text{naik}} = 20 + 60 = 80$ m. Total lintasan = lintasan turun + lintasan naik = 80 + 60 = 140 m. Atau dengan rumus cepat: $S_{\text{total}} = h \times \frac{1+r}{1-r} = 20 \times \frac{1+3/4}{1-3/4} = 20 \times \frac{7/4}{1/4} = 20 \times 7 = 140$ m.

Langkah 1: Rotasi 90° searah jarum jam dengan pusat P(2,3)

Translasi A terhadap P: $A' = A - P = (5-2, -1-3) = (3,-4)$.

Rotasi 90° searah jarum jam: $(x,y) \to (y,-x)$. Maka $(3,-4) \to (-4,-3)$.

Translasi balik: $(-4+2, -3+3) = (-2,0)$. Jadi bayangan setelah rotasi adalah $(-2,0)$.

Langkah 2: Refleksi terhadap garis $y=x$

Refleksi terhadap $y=x$: $(x,y) \to (y,x)$. Maka $(-2,0) \to (0,-2)$.

Jadi, koordinat bayangan akhir adalah $(0,-2)$.

Total bola = 4 + 3 + 3 = 10. Banyak cara mengambil 3 bola dari 10 adalah $C(10,3) = 120$.
(1) Peluang 3 merah: $C(4,3)/120 = 4/120 = 1/30$. Pernyataan (1) salah karena $1/20 \neq 1/30$.
(2) Peluang 2 biru dan 1 hijau: $C(3,2) \times C(3,1) / 120 = 3 \times 3 / 120 = 9/120 = 3/40$. Pernyataan (2) benar.
(3) Peluang 1 merah, 1 biru, 1 hijau: $C(4,1) \times C(3,1) \times C(3,1) / 120 = 4 \times 3 \times 3 / 120 = 36/120 = 3/10$. Pernyataan (3) benar.
(4) Peluang paling sedikit 1 merah = $1 - P(\text{tidak ada merah})$. Tidak ada merah berarti 3 bola dari 6 bola non-merah (3 biru + 3 hijau): $C(6,3)/120 = 20/120 = 1/6$. Jadi peluang = $1 - 1/6 = 5/6$. Pernyataan (4) benar.
Jadi pernyataan yang benar adalah (2), (3), dan (4).

Luas bangun gabungan = luas persegi panjang + luas setengah lingkaran. Misalkan panjang AB = $p$ dan lebar AD = $l$. Setengah lingkaran pada sisi AB, maka diameter = $p$, jari-jari = $p/2$. Luas = $p \times l + \frac{1}{2} \times \pi \times (\frac{p}{2})^2 = pl + \frac{\pi p^2}{8}$.

Pernyataan (1): AD = $l = 10$ cm, diameter = $p = 12$ cm. Maka luas = $12 \times 10 + \frac{\pi \times 12^2}{8} = 120 + \frac{144\pi}{8} = 120 + 18\pi$. Karena $\pi \approx 3,14$, $18\pi \approx 56,52$, sehingga luas $\approx 176,52$ cm² > 150 cm². Jadi (1) cukup.

Pernyataan (2): Keliling = $2(p+l) = 44 \rightarrow p+l = 22 \rightarrow l = 22-p$. Luas = $p(22-p) + \frac{\pi p^2}{8} = 22p - p^2 + \frac{\pi}{8}p^2 = 22p - p^2(1 - \frac{\pi}{8})$. Fungsi kuadrat dalam $p$ dengan koefisien negatif, memiliki nilai maksimum. Untuk $p = 10$, $l = 12$, luas = $120 + \frac{100\pi}{8} = 120 + 12,5\pi \approx 159,25 > 150$. Untuk $p = 5$, $l = 17$, luas = $85 + \frac{25\pi}{8} \approx 85 + 9,82 = 94,82 < 150$. Karena ada kemungkinan luas > 150 dan < 150, maka (2) tidak cukup.

Jadi, pernyataan (1) SAJA cukup, tetapi (2) tidak cukup.

Dari persamaan $3x^2 - 9x + 4 = 0$, diperoleh $x_1 + x_2 = -\frac{-9}{3} = 3$ dan $x_1 x_2 = \frac{4}{3}$. Maka $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 = 3^2 - 2 \cdot \frac{4}{3} = 9 - \frac{8}{3} = \frac{27}{3} - \frac{8}{3} = \frac{19}{3}$. Jadi jawabannya B.

(1) Benar. Sudut pusat $\angle AOB$ menghadap busur yang sama dengan sudut keliling $\angle ACB$, sehingga besar sudut pusat = $2 \times 40^\circ = 80^\circ$.

(2) Salah. Besar $\angle ADB$ tidak selalu $40^\circ$ karena bergantung pada letak titik D. Jika D terletak pada busur besar AB (berlawanan sisi dengan C), maka $\angle ADB$ menghadap busur besar AB dan besarnya $180^\circ - 40^\circ = 140^\circ$.

(3) Benar. Titik E pada busur besar AB menghadap busur kecil AB. Busur kecil AB = $2 \times 40^\circ = 80^\circ$, sehingga busur besar AB = $360^\circ - 80^\circ = 280^\circ$. Sudut keliling $\angle AEB = \frac{1}{2} \times 280^\circ = 140^\circ$.

Jadi, pernyataan yang benar adalah (1) dan (3).

Persamaan: $2\sin(2x)-1=0 \Rightarrow \sin(2x)=\frac{1}{2}$.
$\sin(2x)=\frac{1}{2}$ dipenuhi oleh $2x=30^{\circ}+k\cdot360^{\circ}$ atau $2x=150^{\circ}+k\cdot360^{\circ}$.
Bagi 2: $x=15^{\circ}+k\cdot180^{\circ}$ atau $x=75^{\circ}+k\cdot180^{\circ}$.
Untuk $0^{\circ}\le x\le180^{\circ}$, ambil $k=0$: $x=15^{\circ}$ dan $x=75^{\circ}$. Jadi himpunan penyelesaian $\{15^{\circ},75^{\circ}\}$.

Soal ini merupakan deret aritmetika dengan:

Suku pertama (a) = 2.000
Beda (b) = 150
Jumlah total (S_n) = 33.900

Rumus jumlah n suku pertama deret aritmetika:

$S_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)b)$

Substitusi nilai:

$33.900 = \frac{n}{2}(2 \times 2.000 + (n-1) \times 150)$
$33.900 = \frac{n}{2}(4.000 + 150n - 150)$
$33.900 = \frac{n}{2}(3.850 + 150n)$
$67.800 = n(3.850 + 150n)$
$67.800 = 150n^2 + 3.850n$
$150n^2 + 3.850n - 67.800 = 0$

Bagi kedua ruas dengan 50:

$3n^2 + 77n - 1.356 = 0$

Gunakan rumus kuadrat atau pemfaktoran. Diskriminan: $D = 77^2 - 4 \times 3 \times (-1.356) = 5.929 + 16.272 = 22.201$. Karena $\sqrt{22.201} = 149$, maka:

$n = \frac{-77 \pm 149}{2 \times 3}$

Diperoleh $n = \frac{72}{6} = 12$ atau $n = \frac{-226}{6}$ (tidak memenuhi). Jadi, waktu yang dibutuhkan adalah 12 bulan.

Ruang sampel pelemparan dua dadu adalah 36. Kejadian A: jumlah mata dadu 8, yaitu {(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)} sebanyak 5. Kejadian B: hasil kali 12, yaitu {(2,6),(3,4),(4,3),(6,2)} sebanyak 4. Irisan A ∩ B: {(2,6),(6,2)} sebanyak 2. Peluang A ∪ B = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) = 5/36 + 4/36 - 2/36 = 7/36.

Domain $f(x)=\sqrt{x-1}$: syarat $x-1 \ge 0 \Rightarrow x \ge 1$. Jadi (1) benar.
Domain $g(x)=\frac{1}{x^2-16}$: penyebut $x^2-16 \ne 0 \Rightarrow x \ne \pm 4$. Pernyataan (2) hanya menyebutkan $x \ne 4$, sehingga salah.
Domain $(f+g)(x)$ adalah irisan domain $f$ dan $g$: $x \ge 1$ dan $x \ne \pm 4$. Karena $x \ge 1$ otomatis mengecualikan $x = -4$, maka domainnya cukup $\{x \mid x \ge 1, x \ne 4\}$. Jadi (3) benar.
Domain $(fg)(x)$ sama dengan irisan domain $f$ dan $g$, yaitu $\{x \mid x \ge 1, x \ne 4\}$. Pernyataan (4) menuliskan $x > 1$ (tanpa 1), padahal $x=1$ menghasilkan $f(1)=0$ dan $g(1)$ terdefinisi, sehingga $(fg)(1)=0$ terdefinisi. Jadi (4) salah.
Kesimpulan: hanya (1) dan (3) yang benar.

Misalkan titik $(x,y)$ pada garis awal. Translasi $T=(3,-2)$ menghasilkan $(x+3, y-2)$. Dilatasi pusat $O(0,0)$ faktor skala 3 menghasilkan $(x',y') = (3(x+3), 3(y-2)) = (3x+9, 3y-6)$. Diperoleh $x = \frac{x'-9}{3}$ dan $y = \frac{y'+6}{3}$. Substitusi ke $y=2x+3$:
$\frac{y'+6}{3} = 2\left(\frac{x'-9}{3}\right) + 3$
Kalikan 3: $y'+6 = 2(x'-9) + 9$
$y'+6 = 2x' - 18 + 9$
$y'+6 = 2x' - 9$
$y' = 2x' - 15$.
Jadi bayangannya $y=2x-15$.

Misalkan tujuh bilangan bulat berurutan: $a-3, a-2, a-1, a, a+1, a+2, a+3$. Rata-ratanya adalah $a = 10$. Bilangan-bilangan tersebut: 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13. Simpangan baku dihitung dari akar variansi. Variansi = $\frac{(7-10)^2+(8-10)^2+(9-10)^2+(10-10)^2+(11-10)^2+(12-10)^2+(13-10)^2}{7}$ = $\frac{9+4+1+0+1+4+9}{7} = \frac{28}{7} = 4$. Simpangan baku = $\sqrt{4} = 2$.

Berdasarkan gambar, titik-titik pojok daerah himpunan penyelesaian adalah (0,0), (10,0), (6,4), dan (0,8). Substitusi ke fungsi objektif $f(x,y)=3x+4y$:
(0,0) → 0
(10,0) → 3(10)+4(0)=30
(6,4) → 3(6)+4(4)=18+16=34
(0,8) → 3(0)+4(8)=32
Nilai maksimum adalah 34.

Periksa setiap pernyataan:

(i) Pencerminan terhadap $y = -x$: $(x,y) \to (-y, -x)$. $Q(-2,5) \to (-5, 2)$. Benar.

(ii) Dilatasi $[O, -3]$: $(x,y) \to (-3x, -3y)$. $Q(-2,5) \to (6, -15)$. Benar.

(iii) Rotasi $90^\circ$ searah jarum jam: $(x,y) \to (y, -x)$. $Q(-2,5) \to (5, 2)$, bukan $(-5, -2)$. Salah.

(iv) Translasi $T(3,-1)$: $(-2+3, 5-1) = (1,4)$. Kemudian pencerminan terhadap sumbu $X$: $(x,y) \to (x, -y)$ menghasilkan $(1, -4)$. Benar.

Jadi pernyataan (i), (ii), dan (iv) benar.

Misalkan $u = g(x) = 3x-1$, maka $x = \frac{u+1}{3}$. Substitusi ke $(f\circ g)(x)$:
$f(u) = 9\left(\frac{u+1}{3}\right)^2 - 6\left(\frac{u+1}{3}\right) + 5$
$= 9\cdot\frac{u^2+2u+1}{9} - 2(u+1) + 5$
$= u^2+2u+1 - 2u - 2 + 5$
$= u^2 + 4$
Jadi $f(x) = x^2 + 4$.

Peluang terambil kartu pertama bergambar (J, Q, K) adalah $\frac{12}{52}$. Setelah itu, tersisa 51 kartu dengan 4 As, sehingga peluang kartu kedua As adalah $\frac{4}{51}$. Peluang gabungan = $\frac{12}{52} \times \frac{4}{51} = \frac{48}{2652} = \frac{4}{221}$.

Luas segitiga = $\frac{1}{2} \times p \times q \times \sin R = \frac{1}{2} \times 12 \times 15 \times \sin 30^{\circ} = 90 \times \frac{1}{2} = 45\text{ cm}^2$.

Alas belah ketupat: diagonal $d_1=18$ cm, $d_2=24$ cm.
Luas alas = $\frac{d_1 \times d_2}{2} = \frac{18 \times 24}{2} = 216$ cm².
Panjang sisi belah ketupat: setengah diagonal $9$ cm dan $12$ cm, maka sisi = $\sqrt{9^2+12^2} = \sqrt{81+144} = \sqrt{225} = 15$ cm.
Keliling alas = $4 \times 15 = 60$ cm.
Luas selimut = keliling alas $\times$ tinggi = $60 \times 10 = 600$ cm².
Luas permukaan = $2 \times$ luas alas + luas selimut = $2 \times 216 + 600 = 432 + 600 = 1032$ cm².

Misalkan tiga bilangan: $\frac{a}{r}, a, ar$.
Hasil kali: $\frac{a}{r} \cdot a \cdot ar = a^3 = 512 \Rightarrow a = 8$.
Jumlah: $\frac{8}{r} + 8 + 8r = 42 \Rightarrow 8\left(\frac{1}{r} + 1 + r\right) = 42 \Rightarrow \frac{1}{r} + r + 1 = \frac{42}{8} = 5,25 = \frac{21}{4} \Rightarrow \frac{1}{r} + r = \frac{17}{4}$.
Kalikan $r$: $1 + r^2 = \frac{17}{4}r \Rightarrow 4r^2 - 17r + 4 = 0 \Rightarrow (4r-1)(r-4)=0$.
Jadi $r = \frac{1}{4}$ atau $r=4$.

(1) C(8,3) × C(6,2) = 56 × 15 = 840. Benar.

(2) Total cara = C(14,5) = 2.002. Semua pria = C(8,5) = 56. Paling sedikit 1 wanita = 2.002 − 56 = 1.946, bukan 1.890. Salah.

(3) Pria > wanita: (5 pria, 0 wanita) = C(8,5) = 56; (4 pria, 1 wanita) = C(8,4)×C(6,1) = 70×6 = 420; (3 pria, 2 wanita) = 840. Total = 56 + 420 + 840 = 1.316. Benar.

(4) Semua pria = 56, semua wanita = C(6,5) = 6. Total = 62, bukan 56. Salah.

Jadi, pernyataan yang benar adalah (1) dan (3).