Misalkan banyak koin Rp1.000 = x, Rp500 = y, Rp200 = z.
Nilai total: 1000x + 500y + 200z = 90.000.
Hubungan nilai:
1000x = (1/3) × 500y → 1000x = 500y/3 → y = 6x.
1000x = 2 × 200z → 1000x = 400z → z = (1000/400)x = 2,5x = (5/2)x.
Agar x, y, z bulat, x harus kelipatan 2. Misal x = 2k, maka y = 12k, z = 5k.
Substitusi ke total nilai: 1000(2k) + 500(12k) + 200(5k) = 2000k + 6000k + 1000k = 9000k = 90.000 → k = 10.
Maka x = 20, y = 120, z = 50.
Total koin = 20 + 120 + 50 = 190.

Langkah 1: Memodelkan Masalah ke dalam Persamaan
Misalkan panjang sisi terpendek adalah $x$.
Berdasarkan informasi soal:
- Panjang sisi miring (hipotenusa) = $x + 9$
- Panjang sisi ketiga = $x + 7$

Langkah 2: Menerapkan Teorema Pythagoras
Pada segitiga siku-siku, berlaku:
$$(\text{sisi terpendek})^2 + (\text{sisi ketiga})^2 = (\text{sisi miring})^2$$
Substitusikan variabel $x$:
$$x^2 + (x + 7)^2 = (x + 9)^2$$

Langkah 3: Menyelesaikan Persamaan
Kembangkan bentuk kuadrat:
$$x^2 + (x^2 + 14x + 49) = (x^2 + 18x + 81)$$
$$2x^2 + 14x + 49 = x^2 + 18x + 81$$
Pindahkan semua suku ke ruas kiri:
$$x^2 - 4x - 32 = 0$$
Faktorkan persamaan kuadrat:
$$(x - 8)(x + 4) = 0$$
Diperoleh solusi $x = 8$ atau $x = -4$. Karena panjang sisi tidak mungkin negatif, maka $x = 8$.

Langkah 4: Menghitung Luas Segitiga
Panjang sisi-sisinya adalah:
- Sisi terpendek (alas) = $8$
- Sisi ketiga (tinggi) = $8 + 7 = 15$
- Sisi miring = $8 + 9 = 17$ (Cek: $8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289 = 17^2$, benar)

Luas segitiga siku-siku:
$$L = \frac{1}{2} \times \text{alas} \times \text{tinggi}$$
$$L = \frac{1}{2} \times 8 \times 15$$
$$L = 4 \times 15 = 60$$

Jadi, luas segitiga tersebut adalah $60$ satuan luas.

Faktorisasi prima:
$2002 = 2 \times 7 \times 11 \times 13$ (4 faktor prima berbeda).
$2003$ adalah bilangan prima (1 faktor prima berbeda).
$2004 = 2^2 \times 3 \times 167$ (3 faktor prima berbeda).
Jadi, $2002$ memiliki faktor prima berbeda terbanyak, yaitu 4.

Misalkan harga jual setiap sepeda = $S$. Total penjualan = $2S$. Karena impas, total modal = $2S$. Sepeda pertama rugi $20%$, artinya harga jual $S$ adalah $80%$ dari modal pertama. Modal pertama = $\frac{S}{0,8} = \frac{5}{4}S$. Modal kedua = total modal - modal pertama = $2S - \frac{5}{4}S = \frac{3}{4}S$. Keuntungan sepeda kedua = $S - \frac{3}{4}S = \frac{1}{4}S$. Persentase keuntungan = $\frac{\frac{1}{4}S}{\frac{3}{4}S} \times 100\% = \frac{1}{3} \times 100\% = 33\frac{1}{3}\%$.

Langkah 1: Menentukan luas dan sisi satu persegi satuan
Diketahui terdapat 6 persegi kongruen dengan total luas $486 ext{ cm}^{2}$.
Luas satu persegi = $\frac{486}{6} = 81 ext{ cm}^{2}$.
Panjang sisi satu persegi ($s$) = $\sqrt{81} = 9 ext{ cm}$.

Langkah 2: Menganalisis bentuk untuk keliling minimum
Keliling gabungan persegi akan minimum jika jumlah sisi yang bersentuhan (sisi dalam) sebanyak-banyaknya. Ini terjadi ketika bentuk bangun tersebut paling "padat" atau mendekati bentuk persegi besar.
Untuk 6 persegi, bentuk paling padat adalah persegi panjang berukuran $2 \times 3$ persegi satuan.

Langkah 3: Menghitung keliling
Bentuk persegi panjang $2 \times 3$ memiliki:
Panjang = $3 \times s = 3 \times 9 = 27 ext{ cm}$
Lebar = $2 \times s = 2 \times 9 = 18 ext{ cm}$
Keliling = $2 \times (\text{Panjang} + \text{Lebar})$
Keliling = $2 \times (27 + 18)$
Keliling = $2 \times 45 = 90 ext{ cm}$.

Catatan: Jika disusun memanjang ($1 \times 6$), kelilingnya akan menjadi $2 \times (9 + 54) = 126 ext{ cm}$, yang merupakan keliling maksimum.

Langkah 1: Hitung Total Pertandingan dan Invarian Poin
Terdapat 4 tim, sehingga total pertandingan adalah $\frac{4 \times 3}{2} = 6$ pertandingan.
Misalkan $W$ adalah jumlah pertandingan yang berakhir dengan kemenangan (ada pemenang), dan $S$ adalah jumlah pertandingan yang berakhir seri.
Total poin dalam satu pertandingan:
- Jika ada pemenang: $4 + 0 = 4$ poin.
- Jika seri: $1 + 1 = 2$ poin.
Total poin seluruh turnamen ($P_{total}$) dapat dinyatakan sebagai:
$$P_{total} = 4W + 2S$$
Karena $W + S = 6$, maka $W = 6 - S$. Substitusi ke persamaan:
$$P_{total} = 4(6 - S) + 2S = 24 - 4S + 2S = 24 - 2S$$
Langkah 2: Analisis Poin Tim Spesifik
Salah satu tim (sebut saja Tim A) memperoleh 5 poin dari 3 pertandingan.
Kemungkinan kombinasi hasil untuk Tim A:
- 1 Menang ($4$), 1 Seri ($1$), 1 Kalah ($0$) $\rightarrow$ Total $5$. (Valid)
- Kombinasi lain tidak mungkin menghasilkan 5 (misal 2 Menang sudah 8, atau 3 Seri hanya 3).
Kesimpulan: Tim A terlibat dalam tepat $1$ pertandingan seri.
Langkah 3: Optimasi Poin Tim Lain
Kita ingin mencari jumlah poin ketiga tim lain ($P_{lain}$) yang paling banyak.
$$P_{lain} = P_{total} - P_{Tim A}$$
$$P_{lain} = (24 - 2S) - 5 = 19 - 2S$$
Agar $P_{lain}$ maksimum, maka nilai $S$ (total pertandingan seri) harus minimum.
Kita sudah tahu dari Langkah 2 bahwa minimal ada $1$ pertandingan seri (yang melibatkan Tim A).
Sisa 3 pertandingan (antar tim B, C, D) dapat kita asumsikan semuanya tidak seri (ada pemenang) untuk meminimalkan $S$.
Maka, minimum $S = 1$.
Langkah 4: Hitung Hasil Akhir
$$P_{lain} = 19 - 2(1) = 17$$
Jadi, jumlah poin total ketiga tim lainnya paling banyak adalah 17.

Langkah 1: Ubah bentuk ke dalam operasi pembagian
Kita mencari $n \in \mathbb{N}$ sehingga $(2n + 1)$ membagi $(6n + 24)$.
Dapat ditulis:
$$ \frac{6n + 24}{2n + 1} = k \quad (k \text{ adalah bilangan bulat}) $$

Langkah 2: Eliminasi variabel $n$
Kalikan pembilang dengan 3 agar koefisien $n$ sama dengan penyebut dikali 3:
$$ \frac{3(6n + 24)}{3(2n + 1)} = \frac{18n + 72}{6n + 3} $$
Atau lebih sederhana, manipulasi langsung pada pecahan awal:
$$ \frac{6n + 24}{2n + 1} = \frac{3(2n + 1) + 21}{2n + 1} = 3 + \frac{21}{2n + 1} $$
Agar hasilnya bilangan bulat, maka $(2n + 1)$ harus merupakan faktor dari 21.

Langkah 3: Cari faktor dari 21
Faktor positif dari 21 adalah: 1, 3, 7, 21.
Maka nilai yang mungkin untuk $(2n + 1)$ adalah $\{1, 3, 7, 21\}$.

Langkah 4: Filter berdasarkan syarat $n$
Diketahui $n$ adalah bilangan asli ($n \ge 1$).
Maka $2n + 1 \ge 2(1) + 1 = 3$.
Kita eliminasi faktor 1 karena $2n+1=1 \Rightarrow n=0$ (bukan bilangan asli).

Nilai $(2n + 1)$ yang mungkin adalah 3, 7, dan 21.
1. $2n + 1 = 3 \Rightarrow 2n = 2 \Rightarrow n = 1$
2. $2n + 1 = 7 \Rightarrow 2n = 6 \Rightarrow n = 3$
3. $2n + 1 = 21 \Rightarrow 2n = 20 \Rightarrow n = 10$

Kesimpulan
Himpunan nilai $n$ adalah $\{1, 3, 10\}$.

Analisis Pola:
Soal ini menguji kemampuan manipulasi aljabar pada faktorial dan deret teleskopik. Kunci utamanya adalah mengubah bentuk perkalian $k cdot k!$ menjadi selisih dua faktorial.

Langkah 1: Identitas Faktorial
Kita tahu bahwa $(k+1)! = (k+1) cdot k! = k cdot k! + 1 cdot k!$.
Maka, $k cdot k! = (k+1)! - k!$.

Langkah 2: Terapkan pada Deret
Setiap suku dalam $A$ dapat diubah:
$2 cdot 2! = 3! - 2!$
$3 cdot 3! = 4! - 3!$
$4 cdot 4! = 5! - 4!$
$dots$
$12 cdot 12! = 13! - 12!$

Langkah 3: Jumlahkan (Teleskopik)
$A = (3! - 2!) + (4! - 3!) + (5! - 4!) + dots + (13! - 12!)$

Perhatikan bahwa suku positif dan negatif saling meniadakan (teleskopik):
$3!$ coret dengan $-3!$
$4!$ coret dengan $-4!$
...
$12!$ coret dengan $-12!$

Yang tersisa hanya suku terakhir yang positif dan suku pertama yang negatif:
$A = 13! - 2!$

Langkah 4: Hitung Nilai Akhir
Soal meminta nilai $A + 2!$.
$A + 2! = (13! - 2!) + 2!$
$A + 2! = 13!$

Jadi, jawabannya adalah $13!$.

Analisis Soal:
Soal ini menguji pemahaman geometri analitik, khususnya hubungan gradien garis tegak lurus dan rumus jarak antar titik.

Langkah Penyelesaian:
1. Definisi Koordinat:
Karena $A$ terletak pada $y = x$, misalkan koordinat $A = (a, a)$.
Karena $B$ terletak pada $y = 4x$, misalkan koordinat $B = (b, 4b)$.

2. Kondisi Tegak Lurus:
Garis $y = x$ memiliki gradien $m_1 = 1$.
Karena $AB \perp$ garis $y = x$, maka gradien garis $AB$ ($m_{AB}$) harus memenuhi $m_1 \cdot m_{AB} = -1$.
Maka, $m_{AB} = -1$.

Rumus gradien $AB$:
$$m_{AB} = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{4b - a}{b - a}$$
$$\frac{4b - a}{b - a} = -1$$
$$4b - a = -1(b - a)$$
$$4b - a = -b + a$$
$$5b = 2a \Rightarrow a = \frac{5}{2}b$$

3. Kondisi Panjang Ruas Garis:
Diketahui $AB = 3$, maka $AB^2 = 9$.
$$ (x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 = 9 $$
$$ (b - a)^2 + (4b - a)^2 = 9 $$

Substitusi $a = \frac{5}{2}b$:
$$ (b - \frac{5}{2}b)^2 + (4b - \frac{5}{2}b)^2 = 9 $$
$$ (-\frac{3}{2}b)^2 + (\frac{3}{2}b)^2 = 9 $$
$$ \frac{9}{4}b^2 + \frac{9}{4}b^2 = 9 $$
$$ \frac{18}{4}b^2 = 9 $$
$$ \frac{9}{2}b^2 = 9 $$
$$ b^2 = 2 \Rightarrow b = \pm \sqrt{2} $$

4. Menentukan Koordinat B:
Karena $A$ di kuadran I ($a > 0$) dan $a = 2.5b$, maka $b$ juga harus positif.
Maka $b = \sqrt{2}$.
Koordinat $B = (b, 4b) = (\sqrt{2}, 4\sqrt{2})$.

Jawaban yang benar adalah A.

Langkah 1: Pahami Rumus Binomial Newton
Ekspansi $(a+b)^n$ memiliki suku ke-$(k+1)$ yang dirumuskan sebagai:
$$ T_{k+1} = \binom{n}{k} a^{n-k} b^k $$
Dalam soal ini:
$n = 8$
$a = 2x^3$
$b = -\frac{1}{x} = -x^{-1}$

Langkah 2: Tentukan Nilai k untuk Suku Konstanta
Suku konstanta berarti pangkat dari variabel $x$ adalah 0. Mari kita lihat pangkat $x$ pada rumus umum:
$$ (x^3)^{8-k} \cdot (x^{-1})^k = x^{3(8-k)} \cdot x^{-k} = x^{24-3k-k} = x^{24-4k} $$
Agar menjadi konstanta, pangkatnya harus 0:
$$ 24 - 4k = 0 $$
$$ 4k = 24 $$
$$ k = 6 $$

Langkah 3: Hitung Koefisiennya
Substitusikan $n=8$ dan $k=6$ ke dalam bagian koefisien (angka) dari rumus:
$$ \text{Koefisien} = \binom{8}{6} \cdot (2)^{8-6} \cdot (-1)^6 $$

Hitung masing-masing bagian:
1. Kombinasi: $\binom{8}{6} = \binom{8}{2} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$
2. Pangkat 2: $2^{8-6} = 2^2 = 4$
3. Tanda: $(-1)^6 = 1$ (karena pangkat genap)

Kalikan semuanya:
$$ 28 \times 4 \times 1 = 112 $$

Jadi, suku konstantanya adalah 112.

Misalkan garis memotong sumbu-$x$ di $(a,0)$ dan sumbu-$y$ di $(0,b)$ dengan $a$ dan $b$ bilangan prima. Persamaan garis: $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$. Substitusi titik $(5,12)$: $\frac{5}{a} + \frac{12}{b} = 1$. Kalikan $ab$: $5b + 12a = ab \implies ab - 12a - 5b = 0 \implies (a-5)(b-12) = 60$. Karena $a,b$ prima, cari faktor dari 60. Pasangan faktor yang menghasilkan $a$ dan $b$ prima: $a-5=12 \implies a=17$ (prima) dan $b-12=5 \implies b=17$ (prima). Jadi persamaan garis: $\frac{x}{17} + \frac{y}{17} = 1 \implies x + y = 17$.

Misalkan banyak kantong adalah $k$ dengan $k \ge 2$. Karena setiap dua kantong berselisih paling banyak $1$, isi setiap kantong hanya mungkin berupa $a$ atau $a+1$ untuk suatu bilangan bulat $a \ge 1$. Agar total permen $19$, haruslah $a = \lfloor 19/k \rfloor$ dan banyak kantong berisi $a+1$ adalah $y = 19 - a \cdot k$, dengan $0 \le y \le k$. Untuk setiap $k$ dari $2$ sampai $19$, nilai $a \ge 1$ dan $y$ memenuhi, sehingga selalu ada tepat satu komposisi isi kantong. Karena kantong tidak dibedakan, setiap $k$ menghasilkan tepat satu cara. Banyak nilai $k$ yang mungkin adalah $19 - 2 + 1 = 18$. Jadi, banyak cara mengemas adalah $18$.

Daerah penyelesaian dibatasi sumbu $X$, sumbu $Y$, garis $x+2y=8$, dan garis $3x+y=c$.
Titik pojok kandidat: $(0,0)$, $(8,0)$ (jika memenuhi $3x+y \le c$), $(0,4)$ (jika memenuhi), dan titik potong kedua garis.
Titik potong: dari $x+2y=8 \rightarrow x=8-2y$. Substitusi ke $3x+y=c$:
$3(8-2y)+y=c \rightarrow 24-5y=c \rightarrow y=\frac{24-c}{5}$, $x=\frac{2c-8}{5}$.
Syarat $x \ge 0, y \ge 0$: $c \ge 4$ dan $c \le 24$.
Nilai $2x+y$ di titik potong:
$2\left(\frac{2c-8}{5}\right)+\frac{24-c}{5} = \frac{4c-16+24-c}{5} = \frac{3c+8}{5}$.
Agar maksimum $=10$, maka $\frac{3c+8}{5}=10 \rightarrow 3c+8=50 \rightarrow 3c=42 \rightarrow c=14$.
Cek kandidat lain untuk $c=14$: titik $(8,0)$ tidak masuk karena $3(8)+0=24>14$; $(0,4)$ memberikan $2(0)+4=4$; $(0,0)=0$; $(14/3,0)$ memberikan $2(14/3)=9,33$. Jadi maksimum memang $10$.
Jadi $c=14$.

Persamaan dapat diubah menjadi:
$\frac{x+y}{2}+\sqrt{xy}=90 \implies x+y+2\sqrt{xy}=180 \implies (\sqrt{x}+\sqrt{y})^2=180$.
Karena $\sqrt{180}=6\sqrt{5}$, maka $\sqrt{x}+\sqrt{y}=6\sqrt{5}$.
Misalkan $\sqrt{x}=a\sqrt{5}$ dan $\sqrt{y}=b\sqrt{5}$ dengan $a+b=6$.
Diperoleh $x=5a^2$ dan $y=5b^2$.
Agar $x$ dan $y$ bilangan asli, $a$ dan $b$ harus bilangan asli.
Pasangan $(a,b)$ yang memenuhi $a+b=6$ adalah $(1,5)$, $(2,4)$, dan $(3,3)$.
Maka solusi $(x,y)$ adalah $(5,125)$, $(20,80)$, $(45,45)$, dan simetrinya.
Solusi dengan $x$ terbesar adalah $(125,5)$.

Koordinat titik tengah dari dua titik $(x_1,y_1,z_1)$ dan $(x_2,y_2,z_2)$ adalah $((x_1+x_2)/2, (y_1+y_2)/2, (z_1+z_2)/2)$. Agar koordinatnya bulat, maka $x_1+x_2$, $y_1+y_2$, dan $z_1+z_2$ harus genap. Artinya, $x_1$ dan $x_2$ harus memiliki paritas yang sama (sama-sama genap atau sama-sama ganjil), begitu pula $y_1,y_2$ dan $z_1,z_2$. Setiap titik memiliki tiga koordinat yang masing-masing dapat genap atau ganjil, sehingga terdapat $2^3 = 8$ kelas paritas yang mungkin. Dengan Prinsip Sangkar Burung, jika kita memiliki 9 titik, pasti ada dua titik yang berada pada kelas paritas yang sama, sehingga titik tengahnya berkoordinat bulat. Jika hanya 8 titik, kita dapat memilih satu titik dari setiap kelas paritas sehingga tidak ada pasangan dengan paritas sama di semua koordinat. Jadi, banyak anggota $V$ paling sedikit adalah 9.

Langkah 1: Memahami Geometri dan Variabel
Misalkan panjang $AD = x$. Karena $D$ terletak pada $AC$ dan $DC=2$, maka panjang $AC = x + 2$.

Langkah 2: Menggunakan Teorema Pythagoras pada $\triangle ABD$
Pada segitiga siku-siku $ABD$ (siku-siku di $A$):
$$AB^2 + AD^2 = BD^2$$
$$AB^2 + x^2 = 2^2 \Rightarrow AB^2 = 4 - x^2$$

Langkah 3: Menyatakan $BC$ dalam $x$
Pada segitiga siku-siku besar $ABC$:
$$BC^2 = AB^2 + AC^2$$
Substitusi nilai yang diketahui:
$$BC^2 = (4 - x^2) + (x + 2)^2$$
$$BC^2 = 4 - x^2 + (x^2 + 4x + 4)$$
$$BC^2 = 4x + 8 = 4(x + 2)$$
Maka, $BC = \sqrt{4(x+2)} = 2\sqrt{x+2}$.

Langkah 4: Menggunakan Teorema Euclid (Geometric Mean)
Pada segitiga siku-siku $ABC$ dengan tinggi $AF$, berlaku hubungan proyeksi kaki segitiga:
$$AC^2 = FC \cdot BC$$
Diketahui $FC = 4$, maka:
$$(x + 2)^2 = 4 \cdot 2\sqrt{x+2}$$
$$(x + 2)^2 = 8\sqrt{x+2}$$

Langkah 5: Menyelesaikan Persamaan
Misalkan $u = \sqrt{x+2}$, maka persamaan menjadi:
$$u^4 = 8u$$
Karena $u \neq 0$, kita bagi kedua ruas dengan $u$:
$$u^3 = 8 \Rightarrow u = 2$$
Kembalikan ke variabel $x$:
$$\sqrt{x+2} = 2 \Rightarrow x + 2 = 4$$
Karena $AC = x + 2$, maka $AC = 4$.

Jawaban yang benar adalah 4.

Analisis Konsep:
Soal ini menguji pemahaman tentang invarian warna (pewarnaan papan catur) dalam masalah penutupan domino (tiling problem).

Langkah 1: Syarat Penutupan Domino
Setiap kartu domino berukuran $2 \times 1$ selalu menutupi dua petak yang bersebelahan. Pada papan catur, dua petak yang bersebelahan selalu memiliki warna yang berbeda (satu hitam dan satu putih).
Oleh karena itu, $7$ kartu domino akan menutupi tepat $7$ petak hitam dan $7$ petak putih.

Langkah 2: Analisis Papan Awal
Papan berukuran $4 \times 4$ memiliki total $16$ petak.
Karena diwarnai seperti papan catur dan ukurannya genap-genap, jumlah petak hitam dan putih sama banyak, yaitu:
Petak Hitam ($H$) = $8$
Petak Putih ($P$) = $8$

Langkah 3: Menentukan Warna Petak yang Dibuang
Total petak yang tersedia: $8H + 8P$.
Total petak yang ditutupi domino: $7H + 7P$.
Maka, dua petak yang dibuang haruslah sisa dari pengurangan tersebut:
Petak Hitam yang dibuang = $8 - 7 = 1$ petak Hitam.
Petak Putih yang dibuang = $8 - 7 = 1$ petak Putih.
Jadi, syarat mutlak agar sisa papan bisa ditutup domino adalah Rina harus membuang tepat 1 petak Hitam dan 1 petak Putih.

Langkah 4: Menerapkan Kendala Kolom
Soal memberikan syarat tambahan: Dua petak yang dibuang harus berada pada kolom yang sama.
Papan memiliki $4$ kolom. Karena tinggi papan adalah $4$ (genap), maka setiap kolom pasti terdiri dari $2$ petak Hitam dan $2$ petak Putih (susunan warnanya berselang-seling H-P-H-P atau P-H-P-H).

Kita hitung banyak cara untuk setiap kolom:
1. Pilih 1 kolom dari 4 kolom yang tersedia: Ada $4$ pilihan.
2. Di dalam kolom terpilih tersebut, kita harus memilih 1 petak Hitam dari 2 petak Hitam yang ada: Ada $\binom{2}{1} = 2$ cara.
3. Di dalam kolom terpilih tersebut, kita harus memilih 1 petak Putih dari 2 petak Putih yang ada: Ada $\binom{2}{1} = 2$ cara.

Langkah 5: Perhitungan Total
Banyak cara total = (Pilihan Kolom) $\times$ (Cara Pilih Hitam) $\times$ (Cara Pilih Putih)
Banyak cara = $4 \times 2 \times 2 = 16$.

Jadi, banyak cara Rina memilih dua petak tersebut adalah 16.

Misalkan bilangan yang dihapus adalah $x$. Jumlah bilangan $1$ sampai $n$ adalah $\frac{n(n+1)}{2}$. Rata-rata bilangan yang tersisa adalah $\frac{\frac{n(n+1)}{2} - x}{n-1} = 38\frac{18}{19} = \frac{740}{19}$. Karena $\frac{740}{19}$ sudah paling sederhana, maka $n-1$ harus kelipatan $19$. Tulis $n-1 = 19k$ atau $n = 19k + 1$ dengan $k$ bilangan asli. Substitusi ke persamaan: $\frac{(19k+1)(19k+2)}{2} - x = \frac{740}{19} \cdot 19k = 740k$. Maka $x = \frac{(19k+1)(19k+2)}{2} - 740k = \frac{361k^2 + 57k + 2 - 1480k}{2} = \frac{361k^2 - 1423k + 2}{2}$. Syarat: $1 \le x \le n = 19k+1$. Uji nilai $k$:
$k=1 \Rightarrow n=20, x = \frac{361 - 1423 + 2}{2} = -530$ (tidak memenuhi)
$k=2 \Rightarrow n=39, x = \frac{1444 - 2846 + 2}{2} = -700$ (tidak memenuhi)
$k=3 \Rightarrow n=58, x = \frac{3249 - 4269 + 2}{2} = -509$ (tidak memenuhi)
$k=4 \Rightarrow n=77, x = \frac{5776 - 5692 + 2}{2} = 43$ (memenuhi $1 \le 43 \le 77$)
$k=5 \Rightarrow n=96, x = \frac{9025 - 7115 + 2}{2} = 956$ (tidak memenuhi karena $956 > 96$)
Untuk $k \ge 5$, $x$ akan semakin besar dan selalu melebihi $n$. Jadi satu-satunya nilai $n$ yang memenuhi adalah $77$.

Perhatikan bahwa $AB = BC = CD$ dan $\angle ABC = \angle BCD = 108^\circ$. Konstruksi titik $E$ sehingga $ABCDE$ membentuk segilima beraturan. Pada segilima beraturan, setiap sisi sama panjang dan setiap sudut dalam $108^\circ$. Dengan demikian $A$, $B$, $C$, $D$ adalah empat titik berurutan pada segilima tersebut. Sudut $\angle BAD$ merupakan sudut antara sisi $AB$ dan diagonal $AD$. Pada segilima beraturan, diagonal $AD$ sejajar dengan sisi $BC$? Tidak, tetapi dapat dihitung: segitiga $ABD$ sama kaki dengan $AB = BD$? Sebenarnya $BD$ adalah diagonal, $AB = BC = CD$, tetapi $BD$ tidak sama dengan sisi. Lebih mudah: pada segilima beraturan, besar sudut antara sisi dan diagonal yang melalui satu titik adalah $36^\circ$. Jadi $\angle BAD = 36^\circ$. Alternatif: Tarik $AC$ dan $BD$. Karena $AB = BC$ dan $\angle ABC = 108^\circ$, maka $\angle BAC = \angle BCA = 36^\circ$. Begitu pula pada $\triangle BCD$ didapat $\angle CBD = \angle CDB = 36^\circ$. Kemudian $\angle ABD = 108^\circ - 36^\circ = 72^\circ$. Perhatikan $\triangle ABD$: $AB = CD$ tetapi $BD$ belum tentu sama. Namun dengan $\angle BAD + \angle ABD + \angle ADB = 180^\circ$. Dapat ditunjukkan $\angle ADB = 72^\circ$ juga, sehingga $\angle BAD = 36^\circ$. Cara paling elegan: segiempat tersebut adalah bagian dari segilima beraturan, sehingga $\angle BAD = 36^\circ$.

Misalkan $L = \text{KPK}(a,b)$ dan $G = \text{FPB}(a,b)$. $L$ bilangan 3-angka, $G$ diperoleh dengan membalik angka $L$.

Karena $G \mid L$, maka $L = kG$ untuk suatu bilangan asli $k$. Selain itu, $a = Gm$, $b = Gn$ dengan $m,n$ saling prima dan $m,n > 1$ (karena tidak saling kelipatan). Akibatnya $L = Gmn$, sehingga $k = mn$.

Kasus 1: $L$ tidak berakhiran 0. Maka $G$ juga 3-angka. Misal $L = 100x + 10y + z$, $G = 100z + 10y + x$, $x > z$. Dari $L = kG$ dengan $k \ge 6$, tidak ditemukan solusi digit.

Kasus 2: $L$ berakhiran 0. Tulis $L = 100a + 10b$, maka $G = 10b + a$ (jika $b>0$) atau $G = a$ (jika $b=0$).

Subkasus $b=0$: $L = 100a$, $G = a$, $k = 100$. $100 = 4 \times 25$ (saling prima). $b = G \times 25 = 25a$. Maksimum saat $a=9$ yaitu $b = 225$.

Subkasus $b>0$: $100a + 10b = k(10b + a) \Rightarrow (100-k)a = 10(k-1)b$. Diperoleh $a = \frac{10(k-1)}{100-k}b$. Karena $a \le 9$, haruslah $\frac{10(k-1)}{100-k} \le 9$. Nilai $k$ yang memenuhi: $k=10$ (dari $100-k=90$), $k=34$ ($100-k=66$), $k=45$ ($100-k=55$).

- $k=10$: $a=b$, $L=110a$, $G=11a$. $10=2\times5$. $b = G \times 5 = 55a$. Maksimum $a=9 \Rightarrow b=495$.

- $k=34$: $a=5b$, hanya $b=1, a=5$. $L=510, G=15$. $34=2\times17$. $b = 15 \times 17 = 255$.

- $k=45$: $a=8b$, hanya $b=1, a=8$. $L=810, G=18$. $45=5\times9$. $b = 18 \times 9 = 162$.

Nilai $b$ terbesar yang mungkin adalah 495.

Jumlah semua bilangan 1 sampai 25 adalah $\frac{25 \times 26}{2} = 325$.
Jumlah seluruh baris = 325, jumlah seluruh kolom = 325. Misalkan $D = d_1 + d_2$. Maka jumlah kedua belas bilangan (5 baris, 5 kolom, 2 diagonal) adalah $325 + 325 + D = 650 + D$.
Keduabelas bilangan itu merupakan bilangan berurutan, misalkan $S, S+1, \dots, S+11$. Jumlahnya adalah $12S + (0+1+\dots+11) = 12S + 66$.
Diperoleh $12S + 66 = 650 + D \Rightarrow D = 12S - 584$.
Pada persegi $5 \times 5$, kedua diagonal berpotongan di satu sel pusat. Maka $D$ adalah jumlah sel-sel pada kedua diagonal, yang terdiri dari 9 sel berbeda ditambah sel pusat sekali lagi. Nilai $D$ minimum jika sel-sel diagonal diisi bilangan terkecil: $1+2+\dots+9 + 1 = 46$. Nilai $D$ maksimum jika diisi bilangan terbesar: $17+18+\dots+25 + 25 = 214$.
Jadi $46 \le 12S - 584 \le 214 \Rightarrow 630 \le 12S \le 798 \Rightarrow 52,5 \le S \le 66,5$. Karena $S$ bulat, $S \in \{53, 54, \dots, 66\}$.
$d_1$ dan $d_2$ adalah dua di antara keduabelas bilangan itu, sehingga jumlahnya $D$ harus memenuhi $2S+1 \le D \le 2S+21$. Substitusi $D = 12S - 584$:
$2S+1 \le 12S - 584 \Rightarrow 585 \le 10S \Rightarrow S \ge 58,5 \Rightarrow S \ge 59$.
$12S - 584 \le 2S+21 \Rightarrow 10S \le 605 \Rightarrow S \le 60,5 \Rightarrow S \le 60$.
Jadi $S = 59$ atau $S = 60$.
Bilangan terbesar adalah $S+11$. Untuk $S=60$ diperoleh 71, untuk $S=59$ diperoleh 70. Nilai maksimum yang mungkin adalah 71 (dan dapat ditunjukkan ada konfigurasi yang mencapai nilai ini).

Persamaan disederhanakan:
$p^2 - 60p + q^2 - 60q + 2pq = 1600$
$(p^2 + 2pq + q^2) - 60(p+q) = 1600$
$(p+q)^2 - 60(p+q) - 1600 = 0$
Misal $S = p+q$, maka $S^2 - 60S - 1600 = 0$.
Diskriminan: $D = (-60)^2 - 4(1)(-1600) = 3600 + 6400 = 10000 = 100^2$.
$S = \frac{60 \pm 100}{2}$. Karena $S > 0$, maka $S = \frac{160}{2} = 80$.
Diperoleh $p+q = 80$ dengan $p, q$ bilangan asli.
Nilai $p$ yang mungkin: $1, 2, \dots, 79$ (sebanyak 79).
Jadi banyak pasangan $(p,q)$ adalah 79.

Urutkan empat bilangan yang diketahui: 5, 8, 11, 13. Jumlahnya S = 5+8+11+13 = 37.
Rata-rata kelima bilangan = (37+x)/5.
Median bergantung pada posisi x:

Kasus 1: x ≤ 8. Data terurut: x,5,8,11,13 atau 5,x,8,11,13. Median = 8.
(37+x)/5 = 8 → 37+x = 40 → x = 3. Memenuhi x ≤ 8.

Kasus 2: 8 < x ≤ 11. Data terurut: 5,8,x,11,13. Median = x.
(37+x)/5 = x → 37+x = 5x → 4x = 37 → x = 9,25. Memenuhi 8 < 9,25 ≤ 11. Kasus 3: 11 < x ≤ 13. Data terurut: 5,8,11,x,13. Median = 11.
(37+x)/5 = 11 → 37+x = 55 → x = 18. Tidak memenuhi karena 18 > 13.

Kasus 4: x > 13. Data terurut: 5,8,11,13,x. Median = 11.
(37+x)/5 = 11 → x = 18. Memenuhi x > 13.

Nilai x yang mungkin: 3; 9,25; 18.
Jumlah R = 3 + 9,25 + 18 = 30,25.
Maka 4R = 4 × 30,25 = 121.

Total cara memilih 10 dari 12 siswa dan membentuk 5 pasangan: C(12,10) × (10! / (2⁵ × 5!)) = 66 × 945 = 62.370.
Cara dengan Arka dan Bima berpasangan: pilih 8 dari 10 siswa lain, lalu bentuk 4 pasangan: C(10,8) × (8! / (2⁴ × 4!)) = 45 × 105 = 4.725.
Karena mereka tidak boleh berpasangan, kurangkan: 62.370 − 4.725 = 57.645.

Letakkan persegi pada koordinat: A(0,0), B(6,0), C(6,6), D(0,6).
Rotasi D terhadap A sejauh $-30^{\circ}$ (searah jarum jam):
$D' = (0\cdot\cos30^{\circ} - 6\cdot(-\sin30^{\circ}), 0\cdot(-\sin30^{\circ}) + 6\cdot\cos30^{\circ}) = (3, 3\sqrt{3})$.
Refleksi terhadap $D'$: $A' = 2D' - A = (6, 6\sqrt{3})$, $B' = 2D' - B = (0, 6\sqrt{3})$, $C' = 2D' - C = (0, 6\sqrt{3}-6)$.
Segiempat $A'B'C'D'$ memiliki titik $A'(6,6\sqrt{3})$, $B'(0,6\sqrt{3})$, $C'(0,6\sqrt{3}-6)$, $D'(3,3\sqrt{3})$.
Hitung luas dengan rumus shoelace:
$$ \begin{matrix} x: 6 & 0 & 0 & 3 \\ y: 6\sqrt{3} & 6\sqrt{3} & 6\sqrt{3}-6 & 3\sqrt{3} \end{matrix} $$
$\sum x_i y_{i+1} = 6\cdot6\sqrt{3} + 0\cdot(6\sqrt{3}-6) + 0\cdot3\sqrt{3} + 3\cdot6\sqrt{3} = 36\sqrt{3} + 18\sqrt{3} = 54\sqrt{3}$.
$\sum y_i x_{i+1} = 6\sqrt{3}\cdot0 + 6\sqrt{3}\cdot0 + (6\sqrt{3}-6)\cdot3 + 3\sqrt{3}\cdot6 = 0 + 0 + 18\sqrt{3} - 18 + 18\sqrt{3} = 36\sqrt{3} - 18$.
Luas = $\frac{1}{2}|54\sqrt{3} - (36\sqrt{3} - 18)| = \frac{1}{2}|18\sqrt{3} + 18| = 9\sqrt{3} + 9 = 9 + 9\sqrt{3}$.
Jadi $a = 9$, $b = 9$, maka $a \times b = 81$.

Misalkan bilangan cantik memiliki digit-digit $2, 3, 5, 7$ (bilangan prima). Misalkan banyak digit 2 adalah $a$, digit 3 adalah $b$, digit 5 adalah $c$, dan digit 7 adalah $d$, dengan $a,b,c,d \ge 0$ dan $a+b+c+d \ge 1$.

Hasil perkalian digit = $2^a \cdot 3^b \cdot 5^c \cdot 7^d$.

Hasil penjumlahan digit = $2a+3b+5c+7d$.

Syarat: $2^a \cdot 3^b \cdot 5^c \cdot 7^d = 6(2a+3b+5c+7d)$.

Karena ruas kanan kelipatan 6 = $2 \times 3$, maka ruas kiri harus memiliki faktor 2 dan 3. Satu-satunya digit prima genap adalah 2, sehingga $a \ge 1$. Digit 3 juga harus ada, sehingga $b \ge 1$.

Bagi kedua ruas dengan 6:

$$2^{a-1} \cdot 3^{b-1} \cdot 5^c \cdot 7^d = 2a+3b+5c+7d.$$

Misalkan $a' = a-1 \ge 0$ dan $b' = b-1 \ge 0$, maka:

$$2^{a'} \cdot 3^{b'} \cdot 5^c \cdot 7^d = 2(a'+1)+3(b'+1)+5c+7d = 2a'+3b'+5c+7d+5.$$

Karena ruas kiri tumbuh eksponensial dan ruas kanan linier, kita uji nilai-nilai kecil.

Kasus 1: $c=0, d=0$
$2^{a'} \cdot 3^{b'} = 2a'+3b'+5$.
Uji $b'=0$: $2^{a'} = 2a'+5$. Tidak ada solusi.
$b'=1$: $3 \cdot 2^{a'} = 2a'+8$. $a'=2$ memberikan $12=12$. Jadi $a'=2, b'=1 \Rightarrow a=3, b=2$.
Diperoleh digit: tiga buah 2 dan dua buah 3. Banyak bilangan = $\frac{5!}{3! \cdot 2!} = 10$.

Kasus 2: $c=0, d=1$
$7 \cdot 2^{a'} \cdot 3^{b'} = 2a'+3b'+12$.
Uji $b'=0$: $7 \cdot 2^{a'} = 2a'+12$. $a'=1$ memberikan $14=14$. Jadi $a'=1, b'=0 \Rightarrow a=2, b=1, d=1$.
Diperoleh digit: dua buah 2, satu 3, satu 7. Banyak bilangan = $\frac{4!}{2!} = 12$.

Kasus 3: $c \ge 1$ atau $d \ge 2$
Dapat diperiksa bahwa tidak ada solusi lain karena ruas kiri terlalu besar.

Total banyaknya bilangan cantik = $10 + 12 = 22$.

Dari persamaan $(x-1)f(x+1)=(x+2)f(x)$ diperoleh $frac{f(x+1)}{f(x)}=frac{x+2}{x-1}.$
Maka $frac{f(351)}{f(2)} = prod_{x=2}^{350} frac{x+2}{x-1}.$
Misal $y=x-1$, batas $y=1$ sampai $349$: $prod_{y=1}^{349} frac{y+3}{y} = frac{4times5timescdotstimes352}{1times2timescdotstimes349}.$
Setelah disederhanakan, tersisa $frac{350times351times352}{1times2times3} = frac{350times351times352}{6}.$
Faktorisasi prima:
$350 = 2times5^2times7$
$351 = 3^3times13$
$352 = 2^5times11$
Hasil kali $= 2^6times3^3times5^2times7times11times13.$
Dibagi $6=2times3$ menjadi $2^5times3^2times5^2times7times11times13.$
Faktor prima berbeda: 2, 3, 5, 7, 11, 13 sebanyak 6.

Untuk setiap himpunan $S_n$, kita dapat memasangkan bilangan $x$ dan $y$ jika $x+y=n+1$. Pasangan yang terbentuk adalah $(1,n), (2,n-1), \dots$.

Jika $n$ genap, misal $n=2k$, maka terdapat $k$ pasangan. Jika $n$ ganjil, misal $n=2k+1$, maka terdapat $k$ pasangan dan satu bilangan tanpa pasangan (yaitu $k+1$).

Untuk setiap pasangan, agar himpunan bagian tidak memuat dua bilangan yang berjumlah $n+1$, kita hanya boleh memilih paling banyak satu dari dua bilangan tersebut. Jadi ada 3 pilihan: tidak memilih, memilih bilangan pertama, atau memilih bilangan kedua. Untuk bilangan tanpa pasangan, ada 2 pilihan: memilih atau tidak.

Akibatnya, banyak himpunan bagian yang memenuhi syarat adalah:
- untuk $n$ genap: $3^{n/2}$,
- untuk $n$ ganjil: $2 \times 3^{(n-1)/2}$.

Total himpunan bagian adalah $2^n$. Maka:
$p(n) = \frac{3^{n/2}}{2^n} = \left(\frac{3}{4}\right)^{n/2}$ untuk $n$ genap,
$p(n) = \frac{2 \cdot 3^{(n-1)/2}}{2^n} = \left(\frac{3}{4}\right)^{(n-1)/2}$ untuk $n$ ganjil.

Dengan kata lain, $p(n) = \left(\frac{3}{4}\right)^{\lfloor n/2 \rfloor}$.

Kita diminta mencari bilangan genap $n$ terkecil sehingga $p(n) < \frac{1}{3}$. Karena $n$ genap, $n=2k$, maka $p(n) = \left(\frac{3}{4}\right)^k$.

Syarat: $\left(\frac{3}{4}\right)^k < \frac{1}{3}$.

Uji nilai $k$:
$k=1$: $\frac{3}{4} = 0,75 > \frac{1}{3}$.
$k=2$: $\frac{9}{16} = 0,5625 > \frac{1}{3}$.
$k=3$: $\frac{27}{64} \approx 0,4219 > \frac{1}{3}$.
$k=4$: $\frac{81}{256} \approx 0,3164 < \frac{1}{3}$.

Jadi $k=4$ memenuhi. Maka $n=2k=8$.

Jadi, bilangan genap $n$ terkecil adalah 8.

Misalkan bilangan tersebut adalah hasil penjumlahan $k$ bilangan bulat positif berurutan dengan $k \ge 5$. Jumlahnya adalah $S = a + (a+1) + \dots + (a+k-1) = \frac{k(2a+k-1)}{2}$ dengan $a \ge 1$. Syarat $S < 101$.
Nilai minimum $S$ untuk suatu $k$ adalah $1+2+\dots+k = \frac{k(k+1)}{2}$. Karena $k \ge 5$ dan $S<101$, maka $k$ maksimum saat $\frac{k(k+1)}{2} < 101$, yaitu $k=13$. Untuk setiap $k=5,6,\dots,13$, daftarkan bilangan yang memenuhi:
$k=5$: $15,20,\dots,100$ (18 bilangan)
$k=6$: $21,27,\dots,99$ (14 bilangan)
$k=7$: $28,35,\dots,98$ (11 bilangan)
$k=8$: $36,44,\dots,100$ (9 bilangan)
$k=9$: $45,54,\dots,99$ (7 bilangan)
$k=10$: $55,65,\dots,95$ (5 bilangan)
$k=11$: $66,77,88,99$ (4 bilangan)
$k=12$: $78,90$ (2 bilangan)
$k=13$: $91$ (1 bilangan)

Gabungkan semua bilangan tanpa duplikasi (urutan naik):
15, 20, 21, 25, 27, 28, 30, 33, 35, 36, 39, 40, 42, 44, 45, 49, 50, 51, 52, 54, 55, 56, 57, 60, 63, 65, 66, 68, 69, 70, 72, 75, 76, 77, 78, 80, 81, 84, 85, 87, 88, 90, 91, 92, 93, 95, 98, 99, 100.
Total ada 49 bilangan.

Misalkan jari-jari setengah lingkaran besar X adalah $R=2$ satuan sehingga diameternya 4. Titik O adalah pusat X. Setengah lingkaran P dan Q masing-masing memiliki diameter AO dan OB, sehingga jari-jari P dan Q adalah $r=1$. Luas X $=\frac{1}{2}\pi(2)^2=2\pi$. Luas P dan Q masing-masing $=\frac{1}{2}\pi(1)^2=\frac{\pi}{2}$, total $\pi$.

Setengah lingkaran R menyinggung P, Q, dan busur X. Misalkan pusat R adalah $(0,h)$ dan jari-jarinya $r_R$. Karena R menyinggung busur X di dalam, jarak pusat R ke O adalah $2-r_R$, sehingga $h=2-r_R$. R menyinggung P yang berpusat di $(-1,0)$, sehingga jarak pusatnya $=1+r_R$. Dengan Pythagoras:

$$ \sqrt{1^2+h^2}=1+r_R \Rightarrow \sqrt{1+(2-r_R)^2}=1+r_R $$

Kuadratkan kedua ruas:

$$ 1+4-4r_R+r_R^2=1+2r_R+r_R^2 \Rightarrow 5-4r_R=1+2r_R \Rightarrow 6r_R=4 \Rightarrow r_R=\frac{2}{3} $$

Luas setengah lingkaran R $=\frac{1}{2}\pi\left(\frac{2}{3}\right)^2=\frac{2\pi}{9}$.

Luas daerah tidak diarsir (di dalam P, Q, R) $=\pi+\frac{2\pi}{9}=\frac{11\pi}{9}$. Luas daerah diarsir $=2\pi-\frac{11\pi}{9}=\frac{7\pi}{9}$. Perbandingan luas diarsir : tidak diarsir $=7:11$. Jadi $m=7$, $n=11$, dan $m+n=18$.

Misalkan $n = 100x + 10y + z$ dengan $x$ digit ratusan (1–9), $y$ puluhan (0–9), $z$ satuan (0–9). Maka $f(n) = (100x+10y+z) + (x+y+z) = 101x + 11y + 2z$.

Untuk $f(a)=315$:
$101x + 11y + 2z = 315$.
Jika $x=3$: $303 + 11y + 2z = 315 \Rightarrow 11y + 2z = 12$. Solusi: $y=0, z=6 \Rightarrow a=306$.
Jika $x=2$: $202 + 11y + 2z = 315 \Rightarrow 11y + 2z = 113$. Solusi: $y=9, z=7 \Rightarrow a=297$.
Jika $x=1$: $101 + 11y + 2z = 315 \Rightarrow 11y + 2z = 214$ (maks 117, tidak mungkin).
Jadi $a$ yang mungkin adalah 297 dan 306.

Untuk $f(b)=420$:
$101x + 11y + 2z = 420$.
Jika $x=4$: $404 + 11y + 2z = 420 \Rightarrow 11y + 2z = 16$. Solusi: $y=0, z=8 \Rightarrow b=408$.
Jika $x=3$: $303 + 11y + 2z = 420 \Rightarrow 11y + 2z = 117$. Solusi: $y=9, z=9 \Rightarrow b=399$.
Jika $x=2$: $202 + 11y + 2z = 420 \Rightarrow 11y + 2z = 218$ (tidak mungkin).
Jadi $b$ yang mungkin adalah 399 dan 408.

Nilai $a+b$ terkecil diperoleh dari $a=297$ dan $b=399$ yaitu $297+399 = 696$.

Langkah 1: Menentukan semua kemungkinan kelompok A.
Rata-rata 4 bilangan = 74 → jumlah = 4 × 74 = 296.
Jangkauan 10 → misal bilangan terkecil = $m$, terbesar = $m+10$.
Dua bilangan di antaranya, misal $x$ dan $y$ dengan $m < x < y < m+10$.
$x+y = 296 - m - (m+10) = 286 - 2m$.
Karena $x,y$ bilangan bulat berbeda di antara $m+1$ hingga $m+9$, maka:
$2m+3 \le 286-2m \le 2m+17$
Selesaikan: $68 \le m \le 70$.
• $m=68$: max 78, $x+y=150$ → (73,77), (74,76).
A1={68,73,77,78}, A2={68,74,76,78}.
• $m=69$: max 79, $x+y=148$ → (70,78), (71,77), (72,76), (73,75).
A3={69,70,78,79}, A4={69,71,77,79}, A5={69,72,76,79}, A6={69,73,75,79}.
• $m=70$: max 80, $x+y=146$ → (71,75), (72,74).
A7={70,71,75,80}, A8={70,72,74,80}.
Total 8 kemungkinan kelompok A.

Langkah 2: Menentukan semua kemungkinan kelompok B.
Rata-rata 5 bilangan = 80 → jumlah = 5 × 80 = 400.
Jangkauan 6 → misal bilangan terkecil = $n$, terbesar = $n+6$.
Bilangan di antaranya dipilih 3 dari {n+1, n+2, n+3, n+4, n+5}.
Jumlah ketiga bilangan terpilih = $400 - n - (n+6) = 394 - 2n$.
Jumlah seluruh lima bilangan tengah = $5n+15$.
Jumlah dua bilangan yang tidak terpilih = $(5n+15) - (394-2n) = 7n - 379$.
Dua bilangan tersebut di antara $n+1$ dan $n+5$, sehingga:
$2n+3 \le 7n-379 \le 2n+9$
Selesaikan: $n = 77$.
Jumlah dua bilangan yang dihilangkan = $7(77)-379 = 160$.
Dari {78,79,80,81,82} pasangan jumlah 160: (78,82) dan (79,81).
B1 = {77,79,80,81,83}, B2 = {77,78,80,82,83}.
Total 2 kemungkinan kelompok B.

Langkah 3: Rata-rata gabungan A dan B (multiset).
Jumlah total = 296 + 400 = 696, banyak data = 9.
Rata-rata gabungan = $\frac{696}{9} = 77\frac{1}{3}$.

Langkah 4: Syarat kelompok C (gabungan berbeda).
Misal $k = |A \cap B|$ dan $S = \text{jumlah anggota } A \cap B$.
Rata-rata C = $\frac{696 - S}{9 - k}$. Syarat: $\frac{696 - S}{9 - k} > \frac{696}{9}$.
Sederhanakan: $9(696 - S) > 696(9 - k)$ → $-9S > -696k$ → $S < \frac{696}{9}k \approx 77,33k$. Langkah 5: Periksa 16 pasangan (A,B).
• A1={68,73,77,78} & B1={77,79,80,81,83}: iris {77}, k=1, S=77 < 77,33 (memenuhi).
• A1 & B2: iris {77,78}, k=2, S=155 > 154,66 (tidak).
• A2 & B1: iris kosong (tidak).
• A2 & B2: iris {78}, S=78 > 77,33 (tidak).
• A3 & B1: iris {79}, S=79 > 77,33 (tidak).
• A3 & B2: iris {78,79}, S=157 > 154,66 (tidak).
• A4={69,71,77,79} & B1: iris {77,79}, S=156 > 154,66 (tidak).
• A4 & B2={77,78,80,82,83}: iris {77}, S=77 < 77,33 (memenuhi).
• A5 & B1: iris {79} (tidak).
• A5 & B2: iris kosong (tidak).
• A6 & B1: iris {79} (tidak).
• A6 & B2: iris kosong (tidak).
• A7 & B1: iris {80} (tidak).
• A7 & B2: iris {80} (tidak).
• A8 & B1: iris {80} (tidak).
• A8 & B2: iris {80} (tidak).

Langkah 6: Kelompok C yang memenuhi.
Dari A1&B1: C = {68,73,77,78,79,80,81,83}, rata-rata = 619/8 = 77,375 > 77,33.
Dari A4&B2: C = {69,71,77,78,79,80,82,83}, rata-rata = 619/8 = 77,375 > 77,33.
Kedua kelompok C berbeda. Jadi banyak kemungkinan kelompok C adalah 2.

Bola berdiameter 7 cm disusun dalam balok. Banyak bola maksimum dihitung dengan membagi setiap ukuran balok dengan diameter bola dan mengambil bilangan bulat terbesar (fungsi lantai).
Panjang: $\lfloor 90/7 \rfloor = 12$
Lebar: $\lfloor 60/7 \rfloor = 8$
Tinggi: $\lfloor 40/7 \rfloor = 5$
Total bola = $12 \times 8 \times 5 = 480$.
Jadi, jawabannya adalah 480.

Persamaan awal: $\frac{1}{x-y}=\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$.
Samakan penyebut ruas kanan: $\frac{1}{x-y}=\frac{y+z}{yz}$.
Kali silang: $yz=(x-y)(y+z)$.
Misalkan $S=y+z$ dan $P=yz$, maka $P=(x-y)S \Rightarrow x-y=\frac{P}{S} \Rightarrow x=y+\frac{P}{S}$.
Agar $x$ bulat, haruslah $S \mid P$, yaitu $(y+z) \mid yz$.
Karena $y$ dan $z$ adalah bilangan prima atau negatif prima, kita analisis kasus:

Kasus 1: $y$ dan $z$ bertanda sama.
Misal $y=p$, $z=q$ dengan $p,q$ prima positif. Maka $S=p+q$, $P=pq$.
Jika $p \neq q$, maka $\gcd(p+q,p)=\gcd(p+q,q)=1$ sehingga $\gcd(p+q,pq)=1$. Karena $p+q \mid pq$, haruslah $p+q=1$ (mustahil).
Jika $p=q$, maka $S=2p$ dan $P=p^2$. $2p \mid p^2 \Rightarrow 2 \mid p \Rightarrow p=2$.
Diperoleh $y=z=2$. Maka $S=4$, $P=4$, $x=2+\frac{4}{4}=3$ (prima).
Untuk negatif prima: $y=z=-2$, $S=-4$, $P=4$, $x=-2+\frac{4}{-4}=-3$ (negatif prima).
Jadi diperoleh $(3,2,2)$ dan $(-3,-2,-2)$.

Kasus 2: $y$ dan $z$ bertanda beda.
Misal $y=p$, $z=-q$ dengan $p,q$ prima positif. Maka $S=p-q$, $P=-pq$.
$S \mid P \Rightarrow (p-q) \mid pq$. Karena $p \neq q$ (jika $p=q$, $S=0$ tak terdefinisi), $\gcd(p-q,p)=\gcd(p-q,q)=1$, sehingga $\gcd(p-q,pq)=1$. Maka $p-q \mid 1$, sehingga $p-q=\pm 1$.
Prima yang berselisih 1 hanyalah $2$ dan $3$. Jadi $\{p,q\}=\{2,3\}$.
- Untuk $p=3,q=2$: $y=3,z=-2$, $S=1$, $P=-6$, $x=3+\frac{-6}{1}=-3$ (negatif prima).
- Untuk $p=2,q=3$: $y=2,z=-3$, $S=-1$, $P=-6$, $x=2+\frac{-6}{-1}=8$ (bukan prima/negatif prima).
- Untuk $y=-p,z=q$: secara simetri, $y=-3,z=2 \Rightarrow x=3$ (prima).
- $y=-2,z=3 \Rightarrow x=-8$ (bukan).

Semua tripel valid: $(3,2,2)$, $(-3,-2,-2)$, $(-3,3,-2)$, $(3,-3,2)$.
Total ada 4 tripel.

Karena AB sejajar DE, BC sejajar EF, CD sejajar FA, dan semua sisi sama panjang, segienam ini simetris terhadap titik tengahnya. Misalkan pusat simetri adalah titik tengah AD, BE, dan CF. A=(0,0) dan D=(x_d,13) sehingga pusatnya adalah (x_d/2, 13/2). B=(x_b,3) dan E=(0,y_e) sehingga pusatnya juga (x_b/2, (3+y_e)/2). Diperoleh x_b = x_d dan 3+y_e = 13 => y_e = 10. Ordinat yang tersisa dari {0,3,5,8,10,13} adalah 5 dan 8 untuk C dan F. Karena simetri, y_c + y_f = 13. Dari syarat semua sisi sama panjang, |BC| = |AB| menghasilkan y_f = (13-3)/2 = 5, sehingga y_f=5 dan y_c=8. F=(x_f,5), C=(x_c,8). Dengan |FA| = |AB| diperoleh x_f^2 + 25 = x_b^2 + 9 => x_f^2 = x_b^2 - 16. Sudut ∠FAB=120° memberikan x_f x_b + 15 = -1/2(x_b^2+9). Substitusi dan kuadratkan menghasilkan 3x_b^4 - 142x_b^2 - 1521 = 0, dengan solusi positif x_b^2 = 169/3. Maka x_b = 13/√3, x_f = -11/√3, x_c = 24/√3. Luas dengan rumus shoelace: 1/2|546/√3 - 66/√3| = 240/√3 = 80√3. Jadi q=80, p=3, p+q=83.

Misalkan $f(x)=ax^2+bx+c$. $f(0)=4 \Rightarrow c=4$. $f(-1)=a-b+4$, $f(1)=a+b+4$. Dari batasan: $-6 \le a-b \le -4$ dan $-7 \le a+b \le -3$. Nilai maksimum $M = -\frac{D}{4a} = 4 - \frac{b^2}{4a}$. Karena $a<0$, misal $u=a$, $v=b$, maka $M=4-\frac{v^2}{4u}=4+\frac{v^2}{-4u}$. Daerah feasible adalah segiempat dengan titik sudut $(u,v)=(-3.5, 0.5),\ (-5.5, -1.5),\ (-4.5, 1.5),\ (-6.5, -0.5)$. Substitusi ke $M$: $M_1=4+\frac{0.25}{14}=4+\frac{1}{56}$, $M_2=4+\frac{2.25}{22}=4+\frac{9}{88}$, $M_3=4+\frac{2.25}{18}=4+\frac{1}{8}=\frac{33}{8}$ (maksimum), $M_4=4+\frac{0.25}{26}=4+\frac{1}{104}$. Jadi $M=\frac{33}{8}$. $2024M = 2024 \times \frac{33}{8} = 253 \times 33 = 8349$.

Prinsip Sarang Merpati. Agar pasti mendapat 15 pasang, kita cari jumlah maksimal kelereng yang mungkin diambil tanpa mencapai 15 pasang (maksimal 14 pasang). Dengan 4 warna, strategi terburuk adalah mengambil kelereng sebanyak mungkin dengan total pasangan ≤ 14. Misal kita ambil 2a+1, 2b+1, 2c+1, 2d+1 dari masing-masing warna, dengan a,b,c,d bilangan bulat nonnegatif dan a+b+c+d ≤ 14. Total kelereng = 2(a+b+c+d) + 4. Nilai maksimum tercapai saat a+b+c+d = 14, yaitu 2×14 + 4 = 32. Jadi dengan 32 kelereng, masih mungkin hanya memperoleh 14 pasang. Dengan mengambil 33 kelereng, berdasarkan perhitungan: total pasangan minimal = (33 - jumlah warna ganjil)/2 ≥ (33-4)/2 = 14,5 → 15 pasang. Jadi jawabannya 33.